Один из главных навыков для изучения сложного мат.предмета - натренировать мозг работать в режиме энкодер-декодер. В режиме "энкодер" нужно уметь извлекать из доказательства, выписанного на формальном языке, идею этого доказательства и укладывать ее у себя в голове в некоем компактном виде. В режиме "декодер" нужно уметь разворачивать идею обратно в формальное доказательство. Глубина понимания будет зависеть от того, насколько абстрактные и общие идеи получилось научиться сворачивать и разворачивать таким образом.
Развивать эти навыки можно разными путями. У особо талантливых людей или людей, закончивших хорошие физ.мат школы, они зачастую развиваются в процессе обучения как-то "сами собой" (думаю, там обучение специально построено так, чтобы стимулировать развитие этих навыков), поэтому они их не осознают и воспринимают просто как что-то естественное. Те же, у кого "само собой" не получилось, могут тренироваться сознательно. Расскажу, какие способы тренировки удалось найти мне. Будет круто, если и другие поделятся своими приемами в комментариях.
ЭНКОДЕР
Здесь важно не бежать впереди паравоза и начать развивать навык с простых доказательств, а к более сложным переходить постепенно. Если браться за сложные доказательства, когда этот навык еще совсем-совсем не развит, вы просто не сможете уложить доказательство в свою голову. Например, у меня неоднократно случалось так, что я разбирала формальное доказательство строчка за строчкой, понимая каждый элементарный логический переход, но когда подходила к концу, забывала, что было в начале, и картинка в голове не складывалась.
Чтобы такого не происходило, можно начать с тех доказательств, где нужное утверждение выводится напрямую из определения в одну строчку. После внимательного прочтения такого мини-доказательства нужно спросить себя "Какие именно свойства объекта из определения были задействованы в доказательстве?". При ответе разрешается продолжать смотреть на бумагу, где выписано утверждение, доказательство и определение. Можно также проговорить ответ вслух или рассказать другу (разумеется, если он дает активное согласие). Ответ на этот вопрос и будет являться элементарной идеей доказательства. Далее нужно закрыть доказательство рукой и попытаться воспроизвести его самостоятельно на бумаге, держа в уме идею, которую вы только что извлекли. Можно продолжать смотреть на формулировку утверждения и определения, если остается такая необходимость. Обычно после правильного выполнения предыдущего шага это не составляет труда. Если же все равно не получается, это может означать две вещи.
а) Вы на самом деле не поняли определение. В этом случае можно перечитать его повнимательнее и попытаться пересказать своими словами самому себе или другу. Можно попытаться не рассказать, а нарисовать на бумаге (я так делала с пределом по базе, точной последовательностью и др.). Можно попробовать найти визуализацию нужного определения, сделанную другими - в таких случаях бывают полезны видео наподобие 3blue1brown. Для очень абстрактных определений очень полезно разобрать более простые частные случаи, примеры и аналогии. Например, мне стало понятнее, что такое предел по базе, когда я нарисовала примеры баз (такие, как база окрестностей в пространстве с манхэттенской метрикой и база окрестностей в обычном R^2) и разобралась, почему обычный предел функции в R является его частным случаем.
б) Вы совсем не привыкли к языку формальных рассуждений. У меня не было такой проблемы в ВУЗе, поэтому тут я затрудняюсь что-либо подсказать. Может, наверное, в какой-то степени помочь порешать простые задачки на логику/почитать самые-самые элементарные книжки по мат.логу и дальше продолжать упражняться в математических рассуждениях и их формальной записи, вырабатывая эту привычку.
#учеба #математика
Развивать эти навыки можно разными путями. У особо талантливых людей или людей, закончивших хорошие физ.мат школы, они зачастую развиваются в процессе обучения как-то "сами собой" (думаю, там обучение специально построено так, чтобы стимулировать развитие этих навыков), поэтому они их не осознают и воспринимают просто как что-то естественное. Те же, у кого "само собой" не получилось, могут тренироваться сознательно. Расскажу, какие способы тренировки удалось найти мне. Будет круто, если и другие поделятся своими приемами в комментариях.
ЭНКОДЕР
Здесь важно не бежать впереди паравоза и начать развивать навык с простых доказательств, а к более сложным переходить постепенно. Если браться за сложные доказательства, когда этот навык еще совсем-совсем не развит, вы просто не сможете уложить доказательство в свою голову. Например, у меня неоднократно случалось так, что я разбирала формальное доказательство строчка за строчкой, понимая каждый элементарный логический переход, но когда подходила к концу, забывала, что было в начале, и картинка в голове не складывалась.
Чтобы такого не происходило, можно начать с тех доказательств, где нужное утверждение выводится напрямую из определения в одну строчку. После внимательного прочтения такого мини-доказательства нужно спросить себя "Какие именно свойства объекта из определения были задействованы в доказательстве?". При ответе разрешается продолжать смотреть на бумагу, где выписано утверждение, доказательство и определение. Можно также проговорить ответ вслух или рассказать другу (разумеется, если он дает активное согласие). Ответ на этот вопрос и будет являться элементарной идеей доказательства. Далее нужно закрыть доказательство рукой и попытаться воспроизвести его самостоятельно на бумаге, держа в уме идею, которую вы только что извлекли. Можно продолжать смотреть на формулировку утверждения и определения, если остается такая необходимость. Обычно после правильного выполнения предыдущего шага это не составляет труда. Если же все равно не получается, это может означать две вещи.
а) Вы на самом деле не поняли определение. В этом случае можно перечитать его повнимательнее и попытаться пересказать своими словами самому себе или другу. Можно попытаться не рассказать, а нарисовать на бумаге (я так делала с пределом по базе, точной последовательностью и др.). Можно попробовать найти визуализацию нужного определения, сделанную другими - в таких случаях бывают полезны видео наподобие 3blue1brown. Для очень абстрактных определений очень полезно разобрать более простые частные случаи, примеры и аналогии. Например, мне стало понятнее, что такое предел по базе, когда я нарисовала примеры баз (такие, как база окрестностей в пространстве с манхэттенской метрикой и база окрестностей в обычном R^2) и разобралась, почему обычный предел функции в R является его частным случаем.
б) Вы совсем не привыкли к языку формальных рассуждений. У меня не было такой проблемы в ВУЗе, поэтому тут я затрудняюсь что-либо подсказать. Может, наверное, в какой-то степени помочь порешать простые задачки на логику/почитать самые-самые элементарные книжки по мат.логу и дальше продолжать упражняться в математических рассуждениях и их формальной записи, вырабатывая эту привычку.
#учеба #математика