У.Сойер Прелюдия к математике [1972]
═════════════════════
Эта книга о том, как растить математиков. Может быть, у вас и нет такого намерения. Но все же, я надеюсь, вы найдете в этой книге что-нибудь интересное для себя.
Я стараюсь писать эту книгу для людей, которые хотят понять, что такое развитие. Я пишу не для учителей математики (хотя и учителя могли бы практически применить изложенные идеи), а для тех, кто хочет разобраться в характере мышления математика.
Иногда трудно передать то, что действительно достойно сообщения. Допустим, вы провели несколько лет в определенном месте; эти годы имеют для вас особое значение. Это могло быть в раннем детстве или в школьные годы, или же в период взрослой жизни, когда новые впечатления, приятные или неприятные, сделали вашу жизнь необычно интересной.
Если вы вновь попадаете в это место, оно кажется вам каким-то особым. Ваши спутники, попавшие туда впервые, видят просто приятную деревеньку или обыкновенную городскую улицу. Они не видят того основного, что заставляет вас стремиться вновь посетить это место.
Для того чтобы они поняли ваше стремление, вам нужно быть немного поэтом. Вы должны уметь описать это место так, чтобы передать ваши чувства. Такое описание вполне возможно. Вообще, мы переоцениваем различия между людьми. Я уверен, что если бы кому-нибудь удалось на день стать кем-то другим, изменения были бы гораздо меньшими, чем можно ожидать. Чувства были бы теми же самыми, но обращенными на другие предметы!
Вообще говоря, в процессе обучения передаются скорее сведения о предметах, чем живой ход мысли. Допустим, например, что ко мне приходит человек с каким-либо вопросом: это может быть неясная задача из школьной арифметики или серьезная научная проблема. Допустим, мне удается решить эту задачу; тогда мне очень легко объяснить ее решение.
Представим себе, что я так и сделал, т. е. что я объяснил этому человеку, как поступать в данном конкретном случае. Но если он натолкнется на задачу другого типа, он опять обратится ко мне, так как я сообщил ему только решение данной задачи, но не обучил его самостоятельному мышлению. Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если бы смогпередать моему ученику не просто знания, а гибкость ума, которая дала бы ему возможность в дальнейшем самостоятельно решать задачи.
Само собой разумеется, здесь существуют определенные пределы, о которых не следует забывать. Ум — это один из факторов, важных для решения проблем, а он часто бывает врожденным. Но,кроме ума, имеется ряд факторов, которые зависят главным образом от образования и воспитания, а именно, чувство страха или уверенности, привычка полагаться на себя, инициатива и настойчивость.
Я не думаю, чтобы мы сильно отличались от наших пещерных предков по врожденным качествам ума. Все историческое развитие до настоящего времени, все государственные различия между отдельными странами существенно связаны с изменениями в системе образования .
<...> В первых пяти главах я пытаюсь определить, какими характерными качествами должен обладать математик и как он развивается. Эти главы содержат также ряд математических этюдов, предназначенных для иллюстрации того, что интересует математика. В последующих главах излагаются различные разделы математики, отобранные мною по признаку их необычности, новизны и богатству применений. Все это вполне элементарные теории; чтобы читатель мог разобраться в них, ему достаточно самых смутных воспоминаний о школьной математике.
К расчетам я прибегал редко и нигде не использовал их в качестве составной части доказательства. Этот факт интересен: он показывает, что целый ряд разделов современной математики (с 1800 г.) не является развитием старых работ, а идет в совершенно новом направлении.
Вообще, вы не найдете здесь длинных математических выкладок.
Почти все математические открытия имеют в основе очень простую идею. Учебники часто скрывают этот факт.
Они обычно содержат громоздкие выводы и этим создают впечатление, что математики — это люди, которые всю свою жизнь просиживают за письменными столами и переводят тонны бумаги. Эт
═════════════════════
Эта книга о том, как растить математиков. Может быть, у вас и нет такого намерения. Но все же, я надеюсь, вы найдете в этой книге что-нибудь интересное для себя.
Я стараюсь писать эту книгу для людей, которые хотят понять, что такое развитие. Я пишу не для учителей математики (хотя и учителя могли бы практически применить изложенные идеи), а для тех, кто хочет разобраться в характере мышления математика.
Иногда трудно передать то, что действительно достойно сообщения. Допустим, вы провели несколько лет в определенном месте; эти годы имеют для вас особое значение. Это могло быть в раннем детстве или в школьные годы, или же в период взрослой жизни, когда новые впечатления, приятные или неприятные, сделали вашу жизнь необычно интересной.
Если вы вновь попадаете в это место, оно кажется вам каким-то особым. Ваши спутники, попавшие туда впервые, видят просто приятную деревеньку или обыкновенную городскую улицу. Они не видят того основного, что заставляет вас стремиться вновь посетить это место.
Для того чтобы они поняли ваше стремление, вам нужно быть немного поэтом. Вы должны уметь описать это место так, чтобы передать ваши чувства. Такое описание вполне возможно. Вообще, мы переоцениваем различия между людьми. Я уверен, что если бы кому-нибудь удалось на день стать кем-то другим, изменения были бы гораздо меньшими, чем можно ожидать. Чувства были бы теми же самыми, но обращенными на другие предметы!
Вообще говоря, в процессе обучения передаются скорее сведения о предметах, чем живой ход мысли. Допустим, например, что ко мне приходит человек с каким-либо вопросом: это может быть неясная задача из школьной арифметики или серьезная научная проблема. Допустим, мне удается решить эту задачу; тогда мне очень легко объяснить ее решение.
Представим себе, что я так и сделал, т. е. что я объяснил этому человеку, как поступать в данном конкретном случае. Но если он натолкнется на задачу другого типа, он опять обратится ко мне, так как я сообщил ему только решение данной задачи, но не обучил его самостоятельному мышлению. Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если бы смогпередать моему ученику не просто знания, а гибкость ума, которая дала бы ему возможность в дальнейшем самостоятельно решать задачи.
Само собой разумеется, здесь существуют определенные пределы, о которых не следует забывать. Ум — это один из факторов, важных для решения проблем, а он часто бывает врожденным. Но,кроме ума, имеется ряд факторов, которые зависят главным образом от образования и воспитания, а именно, чувство страха или уверенности, привычка полагаться на себя, инициатива и настойчивость.
Я не думаю, чтобы мы сильно отличались от наших пещерных предков по врожденным качествам ума. Все историческое развитие до настоящего времени, все государственные различия между отдельными странами существенно связаны с изменениями в системе образования .
<...> В первых пяти главах я пытаюсь определить, какими характерными качествами должен обладать математик и как он развивается. Эти главы содержат также ряд математических этюдов, предназначенных для иллюстрации того, что интересует математика. В последующих главах излагаются различные разделы математики, отобранные мною по признаку их необычности, новизны и богатству применений. Все это вполне элементарные теории; чтобы читатель мог разобраться в них, ему достаточно самых смутных воспоминаний о школьной математике.
К расчетам я прибегал редко и нигде не использовал их в качестве составной части доказательства. Этот факт интересен: он показывает, что целый ряд разделов современной математики (с 1800 г.) не является развитием старых работ, а идет в совершенно новом направлении.
Вообще, вы не найдете здесь длинных математических выкладок.
Почти все математические открытия имеют в основе очень простую идею. Учебники часто скрывают этот факт.
Они обычно содержат громоздкие выводы и этим создают впечатление, что математики — это люди, которые всю свою жизнь просиживают за письменными столами и переводят тонны бумаги. Эт