🎲 Задача. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:
а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3-х до 9 очков включительно.
Решение задачи .
Найдём общее количество исходов: по правилу умножения комбинаций, всего может выпасть 36 вариантов.
Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде (a, b) , где a – цифра, выпавшая на 1-м кубике, b – цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:
(3, 5) – на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
(6, 1) – на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
(2, 2) – на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.
Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара (1, 1) , а наибольшую – две «шестёрки».
а) Рассмотрим событие: A – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:
(1, 4); (4, 1); (2, 3); (3, 2).
Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
Р(А) = 4/36 = 1/9– искомая вероятность.
б) Рассмотрим событие: В – выпадет не более 4-х очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева будем записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:
2 очка: (1; 1);
3 очка: (1; 2); (2; 1);
4 очка: (2; 2); (1; 3); (3; 1).
Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
Р(В) = 6/36 = 1/6 – вероятность того, что выпадет не более 4-х очков.
в) Рассмотрим событие: С – выпадет от 3-х до 9 очков включительно.
Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.
Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие: С1 – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.
В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:
2 очка: (1; 1);
10 очков: (4; 6); (6; 4); (5; 5);
11 очков: (5; 6); (6; 5);
12 очков: (6; 6).
Итого: 7 благоприятствующих исходов.
По классическому определению:
Р(С1) = 7/36 – вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9-ти очков.
Далее пользуемся тем, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(С) + Р(С1) = 1;
Р(С) = 1 - Р(С1) = 1 - 7/36 = 29/36 – вероятность того, что выпадет от 3-х до 9 очков включительно.
Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.
Ответ: а) 1/9; б) 1/6; в) 29/36.
@machinelearning_interview
а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3-х до 9 очков включительно.
Найдём общее количество исходов: по правилу умножения комбинаций, всего может выпасть 36 вариантов.
Иными словами, каждая грань
(3, 5) – на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
(6, 1) – на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
(2, 2) – на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.
Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара (1, 1) , а наибольшую – две «шестёрки».
а) Рассмотрим событие: A
(1, 4); (4, 1); (2, 3); (3, 2).
Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
Р(А) = 4/36 = 1/9– искомая вероятность.
б) Рассмотрим событие: В – выпадет не более 4-х очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева будем записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:
2 очка: (1; 1);
3 очка: (1; 2); (2; 1);
4 очка: (2; 2); (1; 3); (3; 1).
Итого: 6 благоприятствующих комбинаций.
Р(В) = 6/36 = 1/6 – вероятность того, что выпадет не более 4-х очков.
в) Рассмотрим событие: С
Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.
Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие: С1 – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.
В чём смысл?
2 очка: (1; 1);
10 очков: (4; 6); (6; 4); (5; 5);
11 очков: (5; 6); (6; 5);
12 очков: (6; 6).
Итого: 7 благоприятствующих исходов.
По классическому определению:
Р(С1) = 7/36 – вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9-ти очков.
Далее пользуемся тем, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(С) + Р(С1) = 1;
Р(С) = 1 - Р(С1) = 1 - 7/36 = 29/36 – вероятность того, что выпадет от 3-х до 9 очков включительно.
Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.
Ответ: а) 1/9; б) 1/6; в) 29/36.
@machinelearning_interview